池袋物理学勉強会

池袋物理学勉強会(6) - connpass へ行ってきました。

唐突なのでさわりを述べておくと、以下の本を進めていき、後々は量子力学がわかるようになろうというのを目指している勉強会です。

Amazon.co.jp： 量子力学を学ぶための解析力学入門 増補第2版 (KS物理専門書): 高橋 康: 本

さて、本日は第二章の演習問題を解く回だったのですが、その内の1問を担当したので折角だから忘れないうちに書いておきます。

P.50 演習問題2 問1

設問

空間の与えられた2点を結ぶ線のうち、直線が最短であることを変分法を用いて示せ

解答

題意より、下のような図を考えます。

与えられる2点をa,bとし、その間を結ぶ線分\( l \)（図の青い線分）が最短となる時の式が直線を示す様になっていれば良い。

線分\( l \)上の微小区間\( {ds} \)を考える。\( {ds} \)は

\begin{align*} {ds} = \sqrt{ {\left({dx}\right)}^2 + {\left({dy}\right)}^2 } \end{align*}

である。線分\( l \)は

\begin{align*} l = \int {ds} \end{align*}

と表せるので、先ほどのより

\begin{eqnarray} l=\int \sqrt{ {\left({dx}\right)}^2 + {\left({dy}\right)}^2 } \\= \int {dx} \sqrt{ 1 + {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2 } \end{eqnarray}

で表すことが出来る。\( l \)は汎関数であり、これが停留値をとればよく、つまり変分\( \delta{l} \)が

\begin{align*} \delta{l} = 0 \end{align*}

となればよい。\( {\frac{dy}{dx}} = {y'} \)と置くと

\begin{align*} l=\int {dx} \sqrt{ 1 + {y'}^2 } \end{align*}

であるから

\begin{eqnarray} \frac{\delta{l}}{\delta{y'}}=\int {dx}(1+{y'}^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot {y'}\\ \delta{l} = \int {dx} \cdot {y'}(1+{y'}^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot {\delta{y'}} \end{eqnarray}

\( {y'} \)を\( {\frac{dy}{dx}} \)に戻して

\begin{eqnarray} \delta{l} = \int {dx} \frac{dy}{dx} {\left\{1 + {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right\}}^{-\frac{1}{2}} \frac{d\delta{y}}{dx}\\ \frac{\delta{l}}{\delta{y}} = \int {dx} \frac{dy}{dx} {\left\{1 + {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right\}}^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} = 0 \end{eqnarray}

となればよいので、つまり \begin{align*} \frac{d}{dx} {\left[\frac{dy}{dx} {\left\{1 + {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right\}}^{-\frac{1}{2}}\right]} = 0 \end{align*}

であればよい。これは、\( {C} \)を定数として

\begin{align*} \frac{dy}{dx} {\left\{1 + {\left( \frac{dy}{dx} \right)}^2 \right\}}^{-\frac{1}{2}} = {C} \end{align*}

の時に成り立つ。よって

\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = {C}{\left\{1 + {\left( \frac{dy}{dx} \right)}^2 \right\}}^{\frac{1}{2}}\\ {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2 = {C}^2{\left\{1 + {\left( \frac{dy}{dx} \right)}^2 \right\}} \end{eqnarray}

\( {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2 = \alpha \)とすると

\begin{eqnarray} \alpha = {C}^2(1 + \alpha)\\ (1-{C}^2)\alpha = {C}^2\\ \alpha = \frac{{C}^2}{1-{C}^2} \end{eqnarray}

つまり

\begin{align*} \frac{dy}{dx} = {\left(\frac{{C}^2}{1-{C}^2}\right)}^{\frac{1}{2}} \end{align*}

であり、\( {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2 \)は定数であることがわかる。これより\( {l} \)は

\begin{align*} {l} = \int {dx}\sqrt{1 + {C}} \end{align*}

で表せ、\( \sqrt{1 + {C}} \)をまた定数\( {a} \)と置くと

\begin{eqnarray} {l} = \int {a} {dx}\\ = {ax} + {b} \end{eqnarray}

つまり、\( {l} \)は直線である。

余談

途中から\( {y'} \)の二次方程式とおいて、もっとシンプルに解答まで到れる方法もありますが、そこら辺は気が向いたら追記します。
また、問題が変分法を用いて解けということで上記のようにしていますが、Euler-Lagrangeの式を使ってもあっさりできます。
とりあえず、数式は書くのが大変だということがよくわかりました。