初心者の為の線形代数勉強会（2）
前回に続き、初心者のための線形代数勉強会(3) - connpass に参加してきました。今回は第二章の以下の節をやりました
- 2.4 行列の転置と共役
- 2.5 行列の分割
- 2.6 行列の線形写像
前回のエントリは下記の通りです
2.4 行列の転置と共役
基本的には教科書参照。転置行列、対称行列、交代行列についての説明。任意の正方行列が1つの対称行列と1つ交代行列の和として一意に表せることなどについてが前半部分。この辺りは教科書に書かれてる事そのままなので、特筆する事は無し。
命題2.4.2で転置についての性質が示されていたが、\({}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A\)ってなんか群の性質でも見かけたような気が･･･。
後半は実行列、複素行列、実ベクトル、複素ベクトル、複素共役行列、随伴行列（エルミート共役）などについて。
この節については教科書を参照すれば事足りるかと思うので、ここでは触れません。
2.5 行列の分割
例 2.5.1
\((m,n)\)型行列\(A\)の各列および各行をベクトルと見なして
\begin{align*} A = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a'_1} \\ \boldsymbol{a'_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a'_n} \end{pmatrix} \end{align*}
で表す事がある。とのことですが、確かに文と式をちゃんと読めばその通りなんですが、初見殺しな感じがしますね。要は
こんな\((m,n)\)型行列について、例えば各列、つまり青枠の要素をそれぞれ1つの列ベクトルとして考えると、列ベクトルが並んだ\((1, n)\)型の行列と見なせますね。それが
\begin{align*} A = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} \end{align*}
なわけですね。同様のことが行についても考えられます。
例 2.5.2
\((m,n)\)型行列\(A\)、\((n,r)\)型行列\(B\)をそれぞれ行ベクトルと列ベクトルで表して
\begin{align*} A = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a'_1} \\ \boldsymbol{a'_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a'_n} \end{pmatrix},~~ B = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b_1} & \boldsymbol{b_2} & \cdots & \boldsymbol{b_r} \end{pmatrix} \end{align*}
とすれば
\begin{align*} AB = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a'_1}\boldsymbol{b_1} & \boldsymbol{a'_1}\boldsymbol{b_2} & \dots & \boldsymbol{a'_1}\boldsymbol{b_r} \\ \boldsymbol{a'_2}\boldsymbol{b_1} & \boldsymbol{a'_2}\boldsymbol{b_2} & \dots & \boldsymbol{a'_2}\boldsymbol{b_r} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ \boldsymbol{a'_m}\boldsymbol{b_1} & \boldsymbol{a'_m}\boldsymbol{b_2} & \dots & \boldsymbol{a'_m}\boldsymbol{b_r} \end{pmatrix} \end{align*}
で表せ、これは各項がスカラーとなっている。
一方、\(A, B\)をそれぞれ列ベクトルと行ベクトルで
\begin{align*} A = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix},~~ B = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b'_1} \\ \boldsymbol{b'_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b'_n} \end{pmatrix} \end{align*}
とすれば
\begin{align*} AB = \boldsymbol{a}_1\boldsymbol{b}'_1 + \boldsymbol{a}_2 \boldsymbol{b}'_2 + \dots + \boldsymbol{a}_n\boldsymbol{b}'_n \end{align*}
で表せ、この場合は各項が\((m, r)\)型の行列となっている。つまり、結果の見た目がかなり異なっているが、実質はどちらも\((m, r)\)型の行列となっている。
例 2.5.8
\(A\)、\(B\)ともに、行、列どちらも\(r\)個と\(s\)個の要素に分割されたブロックを持つ（\(A_{11}\)が\((r, r)\)型、\(A_{12}\)が\((r, s)\)型という具合。\(B\)についても同様）、例2.5.7の行列
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22}\end{pmatrix}, ~~~ B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix} \end{align*}
について、\(A_{12} = O\)とするということで、つまり\(A\)の非対角成分は0となる。このとき、\(AB = BA = I_n~~~(n=r+s)\)であるとするということなので、要は\(B = A^{-1}\)である場合の\(B\)の各成分がどうなるかということですね。ということで、\(B\)の各成分を求めていきます。
\(I_n\)はまた、\(A, B\)を分割したように\(r\)個の要素と\(s\)個の要素でブロックに分けると
\begin{align*} I_n = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & I_s\end{pmatrix} \end{align*}
と表せる。一方、\(A\)と\(B\)について、この積\(AB\)は
\begin{align*} AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\ A_{22}B_{21} & A_{22}B_{22}\end{pmatrix} \end{align*}
となり、題意の条件\(A_{12}=O\)より
\begin{align*} AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} & A_{11}B_{12} \\ A_{22}B_{21} & A_{22}B_{22}\end{pmatrix} \end{align*}
である。\(AB\)と\(I_n\)をそれぞれ比較して
\begin{align*} A_{11}B_{11} = B_{11}A_{11} = I_r,\,\,A_{22}B_{22} = B_{22}A_{22} = I_s,\,\,A_{11}B_{12} = O,\,\,A_{22}B_{21} = O \end{align*}
なので、\(B_{11} = A_{11}^{-1}\)、\(B_{22} = A_{22}^{-1}\)である。
また、\(A\)が正則行列の場合、\(AX = O\)ならば\(X = O\)であるから、\(A_{11}B_{12} = O\)より\(B_{12} = O\)。同様にして、\(B_{21} = O\)である。よって
\begin{align*} B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & O \\ O & A_{22}^{-1}\end{pmatrix} = A^{-1} \end{align*}
以降、一般の場合についての記述は教科書参照。
2.6 行列と線形写像
例 2.6.1
\(\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^n\)の\(\boldsymbol{x}\)とは、要は\((n, 1)\)型の列ベクトルであるから、\(A\)が\((m, n)\)型行列の場合
\begin{align*} f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x} \end{align*}
とすると、\(A\boldsymbol{x}\)は\((m, 1)\)型の列ベクトルとなり、\(\boldsymbol{R}^n\)から\(\boldsymbol{R}^m\)への線形写像となっている。この\((m, 1)\)型の列ベクトルを記述してみると
\begin{align*} A\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k}x_k \\ \sum_{k=1}^{n} a_{2k}x_k \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}x_k \end{pmatrix} \end{align*}
となる。
基本ベクトル
\(\boldsymbol{R}^{n}\)のベクトル（＝\((n, 1)\)型の列ベクトル）について、各\(j\,(1 \leq j \leq n)\)に対して\(j\)番目の成分が1で、他の成分が全て0であるベクトルを\(\boldsymbol{e}_j\)とする。
\begin{align*} \boldsymbol{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},~~~ \boldsymbol{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},~~~ \ldots \boldsymbol{e_n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}
各成分の単位元みたいな感じですね。
写像\(f: \boldsymbol{R}^n \to \boldsymbol{R}^m\)が線形写像である場合
\begin{eqnarray} f(x) & = & f(x_1\boldsymbol{e}_1 + x_2\boldsymbol{e}_2 + \ldots + x_n\boldsymbol{e}_n) \\ & = & f(x_1\boldsymbol{e}_1) + f(x_2\boldsymbol{e}_2) + \ldots + f(x_n\boldsymbol{e}_n) \\ & = & x_1f(\boldsymbol{e}_1) + x_2f(\boldsymbol{e}_2) + \ldots + x_nf(\boldsymbol{e}_n) \\ & = & \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e}_1) & f(\boldsymbol{e}_2) & \ldots & f(\boldsymbol{e}_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}
なので、\(f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}\)であるとき、\(A = \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e}_1) & f(\boldsymbol{e}_2) & \ldots & f(\boldsymbol{e}_n) \end{pmatrix}\)と表せる。
これをふまえて問 2.11の(1)を考えると
\begin{align*} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1+3x_2 \\ x_1-5x_2 \\ 7x_1+6x_2 \end{pmatrix} \ldots (*) \end{align*}
について、線形写像\(f\)に対応する行列を求めろということなので、求める行列を\(A\)とすると、左辺は
\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e}_1) & f(\boldsymbol{e}_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} & f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}
となるので
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} & f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{align*}
である。なので、\(A\)の各成分を式\((*)\)に当てはめてみると
\begin{align*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}, \,\,\, f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align*}
よって
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} \end{align*}
